Đặt $t=\sin x$ thì $t \in [-1,1].$ Ta có
$y=f(t)=2t+1-2t^2$. Suy ra $f'(t)=2-4t$, $f'(t)=0\Leftrightarrow t=1/2.$
Từ đây suy ra
$f'(t)>0\Leftrightarrow t\in\left[ {-1,\frac12} \right]$. Vậy hàm số đồng biến trên $\left[ {-1,\frac12} \right]$.
$f'(t)<0\Leftrightarrow t\in\left[ {\frac12,1} \right]$. Vậy hàm số nghịch biến trên $\left[ {\frac12,1} \right]$.