Xét x2+4x+3=1 ta thấy phương trình này không có nghiệm nguyên với x.
x2+4x+3=(x+1)(x+3)
Nếu x=2k thì x2+4x+3 là một số lẻ trong khi 2y2−2y là số chẵn hoặc =1 hoặc số không nguyên nên phương trình vô nghiệm
vậy x=2k+1 thì x2+4x+3=(2k+2)(2k+4)=4(k+1)(k+2)=2y2−2y
do đó (k+1)(k+2)=2y2−2y−2
Nếu y2−2y−2<0 thì 2y2−2y−2 không phải là số nguyên trong khi (k+1)(k+2) là số nguyên, nên y2−2y−2≥0
do đó 2y2−2y−2 có thể là 1, 2, 4, 8, 16 .... có dạng là bội của 2
trong khi đó (k+1)(k+2) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên sẽ là tích của một sô chẵn và 1 số lẻ
vậy để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì chỉ
(k+1)(k+2)=2 và 2y2−2y−2=2
hay k=0 hoặc k=−3 hay x=1 hoặc x=−5
và y2−2y−2=1 hay y2−2y−3=0 hay y=−1 hoặc y=3
Vậy phương trình có nghiệm (x,y)=(1,−1),(1,3),(−5,−1),(−5,3)