của ông nè ( 4 bài nhé)

Question

1, Cho ba số thực $a,b,c>0$ thỏa mãn $ a+b+c=2013$

Chứng minh :$ \frac{a}{a+\sqrt{2013a+bc}}+\frac{b}{b+\sqrt{2013+ca}}+\frac{c}{c+\sqrt{2013+ab}}\leq1$

2,Cho $x,y,z>0$ và $xyz\geq1$. Tìm GTNN của $S= x^3+y^3+z^3+\frac{2z}{x+y}+\frac{2x}{y+z}+\frac{2y}{x+z}$

3,Cho $x,y,z\geq 0$ và $x^3+y^3+z^3=3$. Tìm GTNN của $P= \frac{x^3}{3y+1}+\frac{y^3}{3z+1}+\frac{z^3}{3x+1}$

4,Cho $ a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Tìm GTNN của biểu thức $P=(1+\frac{3}{a})(1+\frac{3}{b})(1+\frac{3}{c})$

score 2 · Answer 1

tối qua nghĩ ra câu 1 nhưng lười hk on nên giờ đăng nè :

S=$ \frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}$ thay 2013 vào rồi phân tích là dk

$S=\frac{a}{a+\frac{\sqrt{(a+b)(a+c)}}{2}+\frac{\sqrt{(a+c)(a+b)}}{2}} +.............................$ mấy cái còn lại tương tự như cái đầu

$ S\leq \frac{1}{9}(\frac{a}{a}+\frac{2a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{2a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}})+\frac{1}{9}( ....)+\frac{1}{9}(.........)$

tui chỉ làm một cái còn đâu tự làm nhé

ta có $ \frac{2a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}} = \sqrt{\frac{2a}{a+b}.\frac{2a}{a+c}}\leq \frac{1}{2}( \frac{2a}{a+b}+\frac{2a}{a+c})$

tương tự $ \frac{2b}{\sqrt{(b+a)(b+c)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{2b}{b+c}+\frac{2b}{b+a})$

$ \frac{2c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{2c}{c+a}+\frac{2c}{c+b})$

$ \rightarrow S\leq \frac{1}{9}(3+2(\frac{1}{2}(\frac{2(a+b)}{a+b}+\frac{2(b+c)}{b+c}+\frac{2(a+c)}{a+c}))$

$ S\leq 1$

score 4 · Answer 2

Bài 4: nhé

Xét $P_1 = \left(1+\frac{3}{a}\right) =\left(1+\frac{a+b+c}{a}\right) = \left(1+\frac{b}{a}+1+\frac{c}{a}\right)$

Theo bất đẳng thức cauchy:

$P_1 \geq 2\sqrt{\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{c}{a}}\geq 4\sqrt[4]{\frac{bc}{a^2}}$

dấu bằng khi $1 = \frac{b}{a}=\frac{c}{a} \to a=b=c=1$

Hoàn toàn tương tự ta chưng minh

$P_2 = \left(1+\frac{3}{b}\right)\geq 4\sqrt[4]{\frac{ac}{b^2}}$

$P_3 = \left(1+\frac{3}{c}\right)\geq 4\sqrt[4]{\frac{ab}{c^2}}$

Vậy

$P = P_1P_2P_3 \geq 4^3\sqrt[4]{\frac{bc}{a^2}\frac{ac}{b^2}\frac{ab}{c^2}} = 64$

dấu bằng khi $a=b=c=1$

Nhớ vote ủng hộ tinh thần

score 3 · Answer 3

câu 2 :

S =$( x^{3}+y^{3}+z^{3})+(.................) $ như trên đề

S$ \geq 3xyz+\frac{2z}{x+y}+2+\frac{2x}{y+z}+2+\frac{2y}{x+z}+2-6$

S$ \geq 3-6+2(x+y+z)(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x})$ quy đồng là ra thôi

S$ \geq 3-6+9$=6 ( bằng khi x=y=z=1)