Xét $P =\sqrt{3+4^x} +\sqrt{3+4^y}+\sqrt{3+4^z}$
$P =\sqrt{1+1+1+4^x} +\sqrt{1+1+1+4^y}+\sqrt{1+1+1+4^z}$
$P\geq \sqrt{4\sqrt[4]{4^x}}+\sqrt{4\sqrt[4]{4^y}}+\sqrt{4\sqrt[4]{4^z}}$
$P\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{4\sqrt[4]{4^x}}\sqrt{4\sqrt[4]{4^y}}\sqrt{4\sqrt[4]{4^z}}}$
$P\geq 3\sqrt[6]{4.4.4\sqrt[4]{4^{x+y+z}}}$
$P\geq 3\sqrt[6]{4.4.4} = 6$
dấu bằng khi
$4^x = 1$ và $\sqrt{4\sqrt[4]{4^x}}=\sqrt{4\sqrt[4]{4^y}}=\sqrt{4\sqrt[4]{4^z}}$
từ đó ta thấy $x=y=z=0$
Vậy $\min P =6$ khi $x=y=z=0$