Đặt f(x)=x5i−12x4i−5x3i+x2i+4xi−1(1)
Ta có xi là nghiệm của phương trình (1) nên:x5i−12x4i−5x3i+x2i+4xi−1=0
⇔2x5i−x4i−2=2(5x3i−x2i−4xi)
Do đó: S=5∑i=1xi+12x5i−x2i−2=5∑i=1xi+12(5x3i−x2i−4xi)
Xét biểu thức g(x)=x+15x3−x2−4x=x+1x(x−1)(5x+4)=−14x+29(x−1)+536(5x+4)
⇒S=−185∑i=11xi+195∑i=11xi−1+1725∑i=11xi+45(∗)
Mặt khác f(x) viết lại là: f(x)=(x−x1)(x−x2)...(x−x5)
Đạo hàm: f′(x)=(x−x2)(x−x3)...(x−x5)+(x−x1)(x−x3)(x−x4)(x−x5)+...+(x−x1)(x−x2)(x−x3)(x−x4)
Với x≠xi(i=¯1,5) ta được f′(x)f(x)=5∑i=11x−xi và f′(x)=5x4−2x3−15x2+2x+4
- f′(1)f(1)=5∑i=11x−xi⇒5∑i=11xi−1=−f′(1)f(1)=−12
- f′(0)f(0)=5∑i=11−xi⇒5∑i=11xi=−f′(0)f(0)=4
- f′(−45)f(−45)=5∑i=11−45−xi⇒5∑i=11xi+45=−f′(−45)f(−45)=−129004789
Thế vào
(Shift8)⇒S=−89594789