vì S(n) thuộc N nên n < 1986
xét các TH sau :
TH1 :n có 1 chữ số => vô lí
TH2: n có 2 chữ số => vô lí
TH3: n có 3 chữ số =>
gọi n =abc = 100a+10b+c => n+S(n)=100a+10b+c+a+b+c=101a+11b+2c <= 9x100+9x10+9x2=1008 < 1986 ( vô lí )
vây n là số có 4 chữ số
(phần trước này copy của doibuontenh)
gọi số đó là
$n = \overline{abcd}$
Vậy n +S(n) = 1000a+100b+10c+d + a+b+c+d =1986
ta thấy $a \neq 0$ nếu bằng 0 thì quay về trường hợp 3 số như trên.
còn $0 \leq b,c,d \leq 9$
$1986 = 1001a +101b+11c+2d \geq 1001a$
$\to a \leq 1986/1001 = 1,98 \to a =1$
vậy ta có $101b +11c+2d = 985$
$985 =101b +11c +2d \geq 101b \to b\leq 9.75$
mặt khác
$985 =101b +11c +2d \leq 101b+11*9+2*9$ (lấy tối đa c,d đều bằng 9)
hay $101b \geq 868 \to 8.59$
do đó $b = 9$
thay vào biểu thức trên ta có
$11c+2d = 76$
tương tự lý luận như trên
$76 \geq 11c \to c \leq 6.9$
$76 \leq 11c+2*9 \to 11c \geq 58 \to c \geq 5.2$
do đó $c = 6$
thay vào ta tính được d = 5
Vậy 1965 là số tự nhiên phải tìm