Mình chứng minh theo định lý viet nhé:Xét phương trình sin24t=sin23t
⇔cos8t=cos6t⇔t=kπ∨t=kπ7(k∈Z)
Ta có t=0,t=±π7,t=±2π7,t=±3π7 là nghiệm của phương trình
Ta lại có: sin4t=sin23t
⇔4sin22t.cos22t=(3sint−4sin3t)2
⇔16sin2t.cos2t(1−2sin2t)2=sin2t(16sin4t−24sin2t+9)
⇔sin2t[16(1−sin2t)(4sin4t−4sin2t+1)−(16sin4t−24sin2t+9)]=0
⇔[sint=0(1)16(1−sin2t)(4sin4t−4sin2t+1)=16sin4t−24sin2t+9(2)
Đặt x=sin2t, phương trình (2) trở thành: 16(1−x)(4x2−4x+1)=16x2−24x+9
⇔64x3−112x2+56x−7=0
Ta gọi x1=sin22π7,x2=sin23π7,x3=sin2π7=sin26π7 là nghiệm của phương trình
Theo định lý Viet, ta có:
x1.x2.x3=sin22π7.sin23π7.sin26π7=764
x1.x2+x2.x3+x3.x1=sin22π7.sin23π7+sin23π7.sin26π7+sin22π7=5664=78
Từ đó, ta có: 1sin22π7+1sin23π7+1sin26π7=1x1+1x2+1x3
=x1.x2+x2.x3+x3.x1x1.x2.x3=78.647=8 (đpcm)