Đặt $I=\int\limits_{-3}^{3}\frac{x^{2}+1}{2 ^ x +1}dx$.
Đặt $t=-x\Rightarrow dt=-dx.$ Đổi cận $x=3\Rightarrow t=-3, x=-3\Rightarrow t=3$.
Ta có
$I=-\int\limits_{3}^{-3}\frac{(-t)^{2}+1}{2^{-t} +1}dt=\int_{-3}^{3}\frac{2^t(t^{2}+1)}{2^t+1}dt=\int_{-3}^{3}\frac{2^x(x^2+1)}{2^x +1}dx$.
Suy ra
$2I=I+I=\int\limits_{-3}^{3}\frac{x^{2}+1}{2 ^ x +1}dx+\int\limits_{-3}^{3}\frac{2^x(x^{2}+1)}{2 ^ x +1}dx=\int\limits_{-3}^{3}(x^{2}+1)dx=\left[ {x^3/3+x} \right]_{-3}^{3}=24$.
Vậy $I=12$.