tích phân

Question

tính tích phân$ \int\limits_{1}^{2}\frac{1-x^{2}}{1+x^{4}}$dx

score 2 · Answer 1

Cách của Mr Tân trong trường hợp cận chứa $0$ thì chuẩn không cần chỉnh, hên là bài nè không có và ta đi như sau

$I=\int_1^2 \dfrac{\dfrac{1}{x^2}-1}{\dfrac{1}{x^2}+x^2}dx$

đặt $x+\dfrac{1}{x}=t \Rightarrow (\dfrac{1}{x^2}-1)dx=-dt$

lại có $(x+\dfrac{1}{x})^2=x^2 +\dfrac{1}{x^2}+2=t^2 $

Vậy $I=-\int_2^{\frac{5}{2}} \dfrac{1}{t^2-2}dt =\dfrac{1}{2\sqrt 2}\int \bigg (\dfrac{1}{t+\sqrt 2} -\dfrac{1}{t-\sqrt 2} \bigg )dt$

=$\dfrac{1}{2\sqrt 2} \ln \bigg | \dfrac{t+\sqrt 2}{t-\sqrt 2} \bigg |+C$ tự thay cận

score 3 · Answer 2

$I = \int\limits_1^2 {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^4}}}dx} $. Ta có
$\begin{array}{l}
f\left( x \right) = \frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^4}}} = \frac{{1 - {x^2}}}{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2} - 2{x^2}}} = \frac{{1 - {x^2}}}{{\left( {1 + {x^2} + \sqrt 2 x} \right)\left( {1 + {x^2} - \sqrt 2 x} \right)}}\\
= \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left( {\frac{{2x + \sqrt 2 }}{{1 + {x^2} + \sqrt 2 x}} - \frac{{2x - \sqrt 2 }}{{1 + {x^2} - \sqrt 2 x}}} \right)
\end{array}$
nên $I = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left[ {\int\limits_1^2 {\frac{{2x + \sqrt 2 }}{{1 + {x^2} + \sqrt 2 x}}dx - \int\limits_1^2 {\frac{{2x - \sqrt 2 }}{{1 + {x^2} - \sqrt 2 x}}dx} } } \right]$
$ = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int\limits_1^2 {\frac{{d\left( {{x^2} + \sqrt 2 x + 1} \right)}}{{{x^2} + \sqrt 2 x + 1}}} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int\limits_1^2 {\frac{{d\left( {{x^2} - \sqrt 2 x + 1} \right)}}{{{x^2} - \sqrt 2 x + 1}}} =$
$\begin{array}{l}
\frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int\limits_{2 + \sqrt 2 }^{5 + 2\sqrt 2 } {\frac{{du}}{u}} - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\int\limits_{2 - \sqrt 2 }^{5 - 2\sqrt 2 } {\frac{{dv}}{v}} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\left( {\ln \frac{{5 + 2\sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}} \right) - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \left( {\frac{{5 - 2\sqrt 2 }}{{2 - \sqrt 2 }}} \right)\\

=\boxed{ \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \frac{{\left( {5 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {5 - 2\sqrt 2 } \right)}} }
\end{array}$

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn.

Hỏi	19-02-14 04:52 PM
Lượt xem	1804
Hoạt động	19-02-14 10:14 PM

tích phân

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

tích phân

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan