help me với các cao thủ ơi

Question

$\begin{cases}2x^{2010}=y^6 +z^6 \\ 2y^{2010}=z^6+x^6 \\2z^{2010}=x^6+y^6\end{cases}$

score 4 · Answer 1

Nhận thấy nếu

$(x;\ y;\ z)$ là nghiệm của hệ thì

$(-x;\ -y;\ -z)$ cũng là nghiệm

Giả sử

$x\ge y \ge z \ge 0\ (*)$

Ta có

$2x^{2010} \ge 2y^{2010} \Rightarrow y^6+z^6 \ge z^6 +x^6 \Rightarrow y^6 \ge x^6 \Rightarrow y \ge x$

Kết hợp

$(*) \Rightarrow x=y$ tương tự có

$y=z;\ z=x$ vậy hệ có nghiệm

$x=y=z$

Khi đó

$2x^{1010}=2x^6 \Rightarrow x=\{\pm 1;\ 0 \}$

Kết hợp sao cho

$x=y=z$ là ok, hệ có

$7$ nghiệm

1 Đáp án