Nguyên hàm của hàm lượng giác

Question

1.

$\int\limits\frac{\cos x}{\sqrt{1+4\sin x}}dx$

2.

$\int\limits \sin^{6}x.\sin2xdx$

3.

$\int\limits \frac{dx}{\sin^{3}x\cos^{5}x}$

4.

$\int\limits\frac{\sin x}{1+\sin2x}dx$

score 3 · Answer 1

4. Xét :

$F(x)=\int\limits \frac{\sin x}{1+\sin 2x}dx=\frac{1}{2}\int\limits \frac{(\sin x+\cos x)-(\cos x-\sin x)}{(\sin x+\cos x)^2}dx$

$=\frac{1}{2}\int\limits \frac{dx}{\sin x+\cos x}-\frac{1}{2}\int\limits \frac{(\cos x-\sin x)dx}{(\sin x+\cos x)^2}$
Tính :

$I_1= \frac{1}{2}\int\limits \frac{dx}{\sin x+\cos x}$ .Đặt

$t=\tan \frac{x}{2} \Rightarrow dx=\frac{2dt}{1+t^2}; \sin x+\cos x=\frac{-t^2+2t+1}{1+t^2}$
Lúc đó :

$I_1 =\frac{1}{2}\int\limits \frac{2dt}{-t^2+2t+1}=\frac{1}{4 {\sqrt{2}} }\int\limits (\frac{1}{t-1- {\sqrt{2}} }- \frac{1}{t-1+ {\sqrt{2}} } )dt$

$\Rightarrow {I_1} = \frac{1}{{4\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{t - 1 - \sqrt 2 }}{{t - 1 + \sqrt 2 }}} \right| + {C_1} = \frac{1}{{4\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\tan \frac{x}{2} - 1 - \sqrt 2 }}{{\tan \frac{x}{2} - 1 + \sqrt 2 }}} \right| + {C_1}\,\,(1)$
Tính :

$I_2=\frac{1}{2}\int\limits \frac{(\cos x-\sin x)dx}{(\sin+\cos x)^2}=\frac{1}{2} \int\limits \frac{d(\cos x+\sin x)}{(\cos x+\sin x)^2}=-\frac{1}{2}\frac{1}{\sin x+\cos x}+C_2 (2)$
Từ

$(1) và (2)$ :

$F(x)= \frac{1}{{4\sqrt 2 }}\ln \left| {\frac{{\tan \frac{x}{2} - 1 - \sqrt 2 }}{{\tan \frac{x}{2} - 1 + \sqrt 2 }}} \right|+\frac{1}{2}\frac{1}{\sin x+\cos x}+ C$
Trong đó

$C=C_1-C_2 :$ là hằng số tùy ý

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn.

Hỏi	06-02-14 10:07 PM
Lượt xem	2052
Hoạt động	06-02-14 11:05 PM

Nguyên hàm của hàm lượng giác

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Nguyên hàm của hàm lượng giác

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan