+ $u_1 = \sqrt 2 <\ u_2=\sqrt{2+\sqrt 2}$
+ Giả sử đúng $u_k < u_{k+1}$
+ CM $u_{k+1}<u_{k+2}$
Thật vậy $u_{k+1}=\sqrt{2+u_k} < \sqrt{2+u_{k+1}} =u_{k+2}$ vậy dãy tăng
Ta có $u_1 =\sqrt 2 <2$
$u_2 =\sqrt{2+\sqrt 2} <\sqrt{2 +2} =2$
$u_k <2$ cm $u_{k+1}<2$
THật vậy $u_{k+1}=\sqrt{ 2+u_k}<\sqrt{2+2}=2$ vậy dãy bị chặn trên bởi $2$
Ngoài ra có thể làm $u_1=\sqrt 2 =2 .\dfrac{\sqrt 2}{2} =2\cos \dfrac{\pi}{4}=2\cos \dfrac{\pi}{2^2}$
$u_2=\sqrt{2+u_1}=\sqrt{2+2\cos \dfrac{\pi}{4}}=\sqrt{2(1+\cos \dfrac{\pi}{4})}=\sqrt{2 .2\cos^2 \dfrac{\pi}{8}}=2\cos \dfrac{\pi}{2^3}$
Quy ạp được $u_n=2\cos \dfrac{\pi}{2^{n+1}}$ từ đó dễ có dãy bị chăn và tính được giới hạn