|
|
Xét : $I= \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } e^{\sin^2 x} \sin x\cos^3
xdx= \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} } e^{\sin^2 x}.(1-\sin^2
x)(2\sin x\cos x)dx $
Đặt : $t=\sin^2 x \Rightarrow dt= 2\sin x\cos xdx$
Đổi cận :
$x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=1 $
$x=0 \Rightarrow t=0$
Lúc đó : $I= \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}e^t(1-t)dt=\frac{1}{2}
\int\limits_{0}^{1} (1-t)d(e^t)$
Đặt :
$u=1-t \Rightarrow du=-dt$
$dv= d(e^t) \Rightarrow v=e^x$
Lúc đó : $I= \frac{1}{2}[(1-t)e^t]|^1_0+\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}e^tdt=\frac{1}{2}[0-1.e^0]+\frac{1}{2}e^t|^1_0 $
$\Rightarrow I=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(e-1)=\frac{1}{2}(e-2) $
|