$\int\limits_{0}^{3ln2}\frac{dx}{(\sqrt[3]{e^x}+2)^2}$

Question

hanhphucnhe989 · Answer 1 · 12/27/2013 1:59:42 PM

$I=\int\limits_{0}^{3\ln2}\frac{dx}{(\sqrt[3]{e^x}+2)^2}=\int\limits_{0}^{3\ln2}\frac{dx}{(e^{\frac{x}{3}}+2)^2}=\int\limits_{0}^{3\ln2}\frac{e^{\frac{x}{3}}dx}{e^{\frac{x}{3}}(e^{\frac{x}{3}}+2)^2}$

Đặt

$t=e^{\frac{x}{3}}+2\Rightarrow dt=\frac{1}{3}e^{\frac{x}{3}}dx\Leftrightarrow 3dt=e^{\frac{x}{3}}dx$

Đổi cận:

$x=0\Rightarrow t=3$

$x=3\ln2\Rightarrow t=4$

$\Rightarrow I=3\int\limits_{3}^{4}\frac{dt}{t^2(t-2)}=3\int\limits_{3}^{4}(\frac{1}{4(t-2)}-\frac{1}{4t}-\frac{1}{2t^2})dt$ (sử dụng đồng nhất thức để tách)

$=3(\frac{1}{4}\ln|t-2|-\frac{1}{4}\ln|t|+\frac{1}{2t})|^4_3=\frac{3}{4}\ln\frac{3}{2}-\frac{1}{8}$

Trả lời 27-12-13 01:59 PM

hanhphucnhe989
1

52K 165K

hay đấy. – manhtuongbgvnvn 27-12-13 04:39 PM

Đức Vỹ · Answer 2 · 12/27/2013 1:43:20 PM

Ta có

$I = \int\limits_0^{3\ln 2} {\frac{{{e^{\frac{x}{3}}}dx}}{{{e^{\frac{x}{3}}}{{({e^{\frac{x}{3}}} + 2)}^2}}}}$
Đặt

$u=e^{\frac{x}{3}}\Rightarrow$

$3du = {e^{\frac{x}{3}}}dx$ ;
Đổi cận

$x = 0 \Rightarrow u = 1;x = 3\ln 2 \Rightarrow u = 2$
Ta được

$I = \int\limits_1^2 {\frac{{3du}}{{u{{(u + 2)}^2}}}} =3$

$\int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{{4u}} - \frac{1}{{4(u + 2)}}} \right.\left. { - \frac{1}{{2{{(u + 2)}^2}}}} \right)} du$

$=3\left. {\left( {\frac{1}{4}\ln \left| u \right| - \frac{1}{4}\ln \left| {u + 2} \right| + \frac{1}{{2(u + 2)}}} \right)} \right|_1^2$

$\boxed{= \frac{3}{4}\ln (\frac{3}{2}) - \frac{1}{8}}$

Hỏi	27-12-13 12:25 PM
Lượt xem	1662
Hoạt động	27-12-13 01:59 PM

$\int\limits_{0}^{3ln2}\frac{dx}{(\sqrt[3]{e^x}+2)^2}$

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

3ln2∫0dx(3√ex+2)2\int\limits_{0}^{3ln2}\frac{dx}{(\sqrt[3]{e^x}+2)^2}

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan

$\int\limits_{0}^{3ln2}\frac{dx}{(\sqrt[3]{e^x}+2)^2}$