Sữa cái đề lại nhá $VT\geq2\sqrt{3}$Áp dụng $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{9}{a+b+c}$
$VT\geq\frac{9}{\sin A+\sin B+\sin C}\geq 2\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \sin A+\sin B+\sin C\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$ $(*)$
BĐT $(*)$ là BĐT rất quen với các bạn học chuyên đề này.
Mình Cm bằng Jensen:
Xét $f(x)=\sin x ,x\in (0;\pi) $
$f''(x)=-\sin x<0 \forall x\in (0;\pi)\Rightarrow f(x)$ lõm trên $(0;\pi)$
Jensen: $f(A)+f(B)+f(C)\leq 3.f(\frac{A+B+C}{3})=3\sin 60^o=\frac{3\sqrt{3}}{2}$