|
|
xét f(x)= $ \frac{x-2}{x-1}$
D=R\ {1}; f'(x)= $ \frac{1}{(x-1)^{2}} $
tiếp tuyến qua A với hệ số góc k sẽ có dạng $y-a=k(x-0)$ hay $y=kx+a$ đặt g(x)=$kx+a$ thì g'(x)=$k$
điệu kiện tiếp xúc giữa f(x) và g(x) là thế này \begin{cases}f(x)=g(x) \\ f'(x)=g'(x) \end{cases}
suy ra hệ \begin{cases}kx+a=\frac{x-2}{x-1} \\ k= \frac{1}{(x-1)^{2}}\end{cases}
rút k ở dưới thế lên ta được $\frac{x}{(x-1)^{2}}+a =\frac{x-2}{x-1}$
vì x $\neq$ 1 nên nhân 2 vế cho $(x-1)^{2}$ ta được $x+a(x-1)^{2}=(x-2)(x-1)$
khai triển rồi rút gọn ta được pt $(a-1)x^{2}+2(2-a)x-1=0$
đặt h(x)=$(a-1)x^{2}+2(2-a)x-1$
để kẻ dc 2 tiếp tuyến có hoành độ 2 tiếp điểm nằm về 2 phía Oy thì pt h(x)=0 phải có 2 nghiệm phân biệt trái dấu và khác 1
tức là \begin{cases}a-1 \neq 0 \\\Delta' h(x) >0 \\ x_{1}\times x_{2} <0 \\ h(1)\neq 0 \end{cases}
suy ra \begin{cases} a \neq 1\\(2-a)^{2} +4(a-1) >0 \\ \frac{-1}{a-1}<0 \\a-1+2(2-a)-1\neq 0\end{cases}
rút gọn lại ta có \begin{cases}a \neq 1 \\ a^{2} >0 \\a-1>0\\-a+2\neq 0 \end{cases}
vậy \begin{cases} a\neq1 \\ a\neq0\\a>1\\a\neq2 \end{cases}
Vậy a $\in (1;+\infty )$ \ {2}
|