Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
22sinx+2tanx≥2√22sinx.2tanx=22sinx+tanx2+1
Ta chỉ cần chứng minh: 22sinx+tanx2+1>23x2+1⇔2sinx+tanx>3x
Xét hàm số: f(x)=2sinx+tanx−3x,x∈(0;π2)
Ta có:
f′(x)=2cosx+1cos2x−3≥33√cosx.cosx.1cos2x−3=0
hay f′(x)≥0,∀x∈(0;π2)⇒f(x) đồng biến trên (0;π2)
Suy ra: f(x)>f(0)=0⇔2sinx+tanx>3x,∀x∈(0;π2)