bdt

Question

cho

$a,b,c$ dương.

CMR

$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}+9\frac{ab+bc+ca}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\geqslant 12$

score 0 · Answer 1

Kí hiệu

$\sum$ là tổng của những biểu thức tương tự nhau. Ví dụ

$a+b+c = \sum, ab+bc+ca =\sum ab$ .

Ta biến đổi BĐT như sau. BĐT đã cho

$\Leftrightarrow \frac{\sum a^3}{abc}+9\frac{\sum ab}{\sum a^2} \ge 12$

$\Leftrightarrow \frac{\sum a^3-3abc}{abc}+9\frac{\sum ab-\sum a^2}{\sum a^2} \ge 0$

$\Leftrightarrow \frac{\left ( \sum a \right )\left ( \sum a^2 -\sum ab\right )}{abc}+9\frac{\sum ab-\sum a^2}{\sum a^2} \ge 0$

$\Leftrightarrow \left ( \sum a^2 -\sum ab \right )\left ( \frac{\sum a}{abc}-\frac{9}{\sum a^2} \right ) \ge 0$

$\Leftrightarrow \left ( \sum a^2 -\sum ab \right )\left ( \frac{\sum a\sum a^2-9abc}{abc\sum a^2} \right ) \ge 0$

Nhưng BĐT này đúng vì

$\sum a^2 -\sum ab = \frac{1}{2}\sum (a-b)^2 \ge 0$ .

$\sum a\sum a^2 \ge 3 \sqrt[3]{abc}. 3 \sqrt[3]{a^2b^2c^2} = 9abc$ .

Hãy ấn chữ V dưới chữ đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Các bài tiếp theo mình sẽ sẵn sàng giúp đỡ bạn.

1 Đáp án