2. Em tự chứng minh điều nhỏ sau đây coi như bài tập.
Nếu ƯCLN$(m,n)=1$ thì ƯCLN$(m^2,n^2)=1$.
Giả sử ƯCLN$(m+n,m^2+n^2)=d, \quad d \in \mathbb N^*.$
Ta có
$\begin{cases}d \mid (m+n) \\ d \mid (m^2+n^2) \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}d \mid (m^2-n^2) \\ d \mid (m^2+n^2) \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}d \mid (m^2+n^2)+(m^2-n^2)=2m^2 \\ d \mid (m^2+n^2)-(m^2-n^2) =2n^2\end{cases} $
+ Nếu $d=2$ thì ƯCLN$(m^2,n^2)=2$.
+ Nếu $d \ne 2\Rightarrow \begin{cases}d \mid m^2 \\ d \mid n^2\end{cases} \Rightarrow d=1$ vì ƯCLN$(m^2,n^2)=1$.
Vậy ƯCLN$(m+n,m^2+n^2) \in \{1,2 \}$.