Ta có pt hoành độ giao điểm của (C) và d là:x3−(m+1)x2+x+2m+1=x+m+1⇔x3−(m+1)x2+m=0⇔(x−1)(x2−mx−m)=0(1)
⇔[x=1x2−mx−m=0(2)
Để (C) cắt (d) tại 3 điểm pb A,B,C thì pt (1) phải có 3 nghiệm pb hay pt (2) có 2 nghiệm pb khác 1
Điều kiện: {m2+4m>01−m−1≠0⇔{m<−4⊻
Gọi A(1,m+2), B(x_1;x_1+m+1), C(x_2;x_2+m+1)
Do x_1, x_2 là nghiệm của pt (2) nên theo vi-et ta có: \begin{cases}x_1+x_2=m \\ x_1.x_2=-m \end{cases}
Ta có y'=3x^2-2(m+1)x+1\Rightarrow Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B, C lần lượt là:
y'(1)=2-2m
y'(x_1)=3x_1^2-2(m+1)x_1+1
y'(x_2)=3x_2^2-2(m+1)x_2+1
Theo giả thiết ta có: y'(1)+y'(x_1)+y'(x_2)=12
\Leftrightarrow 2-2m+3x_1^2-2(m+1)x_1+1+3x_2^2-2(m+1)x_2+1=12
\Leftrightarrow 3(x_1^2+x_2^2)-2(m+1)(x_1+x_2)+4-2m=12
\Leftrightarrow m^2+2m-8=0
\Leftrightarrow \left[\begin {gathered}m=2 TM(*)\\m=-4 không TM (*)\end{gathered} \right.
Vậy với m=2 thì yêu cầu bài toán được thỏa mãn.