Toán 12 - Hệ phương trình, giúp tớ với :(

Question

$\begin{cases} \sqrt{(4-x)(3-y)}= y - 2x + 5 \\ \sqrt{2x-y}-\sqrt{3-y}=x^{2}-8 \end{cases}$

score 0 · Answer 1

$DK:x\leq 4\wedge y\leq 3\wedge 2x\geq y$

$pt(1)\Leftrightarrow 3-y+\sqrt{(3-y)(4-x)}-2(4-x)=0 (*)$

$x=4 ko fai no của pt, xét x\neq4$

$(*)\Leftrightarrow \frac{3-y}{4-x}+\sqrt{\frac{3-y}{4-x}}-2=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{3-y}{4-x}}=1\Leftrightarrow y=x-1 thế vào pt(2) ta đc.$

$\sqrt{x+1}-\sqrt{4-x}=x^{2}-8(**)$

$xét f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{4-x} trên (-1;4) có f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}+\frac{1}{2\sqrt{4-x}}>0 \forall -1<x<4$

$\Rightarrow f(x) DB trên (-1 ;4) =>f(x)minx=f(-1)=-\sqrt{5}$

$=>x^{2}-8\geq -\sqrt{5}\Rightarrow x>2$

$xet g(x)=x^{2}-8 trên (2,4) ,g'(x)=2x>0\forall x\in (2;4)$

$=>g(x)$ ĐB trên (-2;4)

$\Rightarrow (**) có nhiều nhất một nghiệm, và nghiệm đó fải thuộc trên (2;4)$

$mà f(3)=g(3) => x=3 là nghiệm duy nhất của pt(**)$

vậy x=3 và y=2 là nghiệm duy nhất của hệ.

1 Đáp án