Tương giao của đồ thị(3).

Question

Tìm

$m$ để đồ thị

$y=x^3-3x\,\,(C)$ cắt đồ thị

$y=m\left(x+1\right)+2$ tại ba điểm phân biệt

$M(-1;\,2),\,N$ và

$P$ sao cho tiếp tuyến với

$(C)$ tại

$N$ và

$P$ vuông góc với nhau.

score 1 · Answer 1

PT tuơng giao

$x^3-3x=m(x+1)+2\Leftrightarrow (x+1)(x^2-x-2-m)=0$
Như vậy hoành độ của

$B,C$ là hai nghiệm của PT

$x^2-x-2-m=0$ nên

$\begin{cases}x_B^2-x_B-2-m=0 \\ x_C^2-x_C-2-m=0 \end{cases}$
và cũng theo định lý Vi-ét thì

$\begin{cases}x_B+x_C=1 \\ x_Bx_C=-m-2 \end{cases}$
Mặt khác

$k_B=f'(x_B)=3x_B^2-3=3\left (x_B^2-x_B-2-m \right )+3x_B+3m+3=3x_B+3m+3$

$k_C=f'(x_C)=3x_C^2-3=3\left (x_C^2-x_C-2-m \right )+3x_C+3m+3=3x_C+3m+3$
Do đó hai tiếp tuyến tại

$B$ và

$C$ vuông góc với nhau

$\Leftrightarrow -1=k_Bk_C=\left ( 3x_B+3m+3 \right) \left ( 3x_C+3m+3 \right )$

$\Leftrightarrow -1=9\left (x_B+m+1 \right) \left ( x_C+m+1 \right )$

$\Leftrightarrow -1=9x_Bx_C+9(m+1)(x_B+x_C)+9(m+1)^2$

$\Leftrightarrow -1=9-9(m+1)(m+2)+9(m+1)^2$

$\Leftrightarrow m=1/9$ .

1 Đáp án