|
|
Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $S$ xuống mp $ABC$. Kẻ $HM,HN,HP$ lần lượt vuông góc với $AB,BC,CA$ trong mặt phẳng này. Sử dụng tính chất ba đường vuông góc ta dễ chứng minh được $SM,SN,SP$ lần lượt vuông góc với $AB,BC,CA$.
Từ đây suy ra $\widehat{SMH},\widehat{SNH},\widehat{SPH}$ là các góc tạo bởi các mặt bên và mặt đáy $(ABC)$.
Do đó $\widehat{SMH}=\widehat{SNH}=\widehat{SPH}=60^\circ.$
Suy ra $HM=HN=HP (=SH \cot 60^\circ)$ nên $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle ABC$.
Sử dụng công thức He-rông ta tính được
$S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{9a.4a.3a.2a}=6\sqrt6a^2.$
Và ta cũng được bán kính $r$ của đường tròn nội tiếp
$r=\frac{S}{p}=\frac{6\sqrt6a^2}{9a}=\frac{2\sqrt6a}{3}$
Ta cũng có
$SH=r\tan 60^\circ=\frac{2\sqrt6a}{3}.\sqrt3=2\sqrt2a.$
Vậy
$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.SH.S_{ABC}=\frac{1}{3}.2\sqrt2a.6\sqrt6a^2=8\sqrt3a^3$.
|