|
|
$A=(2.4.6...1992)-(1.3.5.7...1991)=(2.1).(2.2).(2.3)\ldots(2.996)-\frac{1.2.3.4.5...1991.1992}{2.4.6...1990.1992}$
$=2^{996}.996!-\frac{1992!}{2^{996}.996!}=\frac{2^{1992}.(996!)^2-1992!}{2^{996}.996!}$
Chú ý rằng $p=1993$ là một số nguyên tố có dạng $4k+1$ nên theo định lý Wilson và Fermat nhỏ ta có các kết quả sau
$\begin{cases}(p-1)! \equiv -1 \bmod p \\ \left ( \frac{p-1}{2}! \right )^2\equiv -1 \bmod p \\ 2^{p-1} \equiv 1 \bmod p \\ \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}1992! \equiv -1 \bmod 1993 \\ (996!)^2\equiv -1 \bmod 1993 \\ 2^{1992} \equiv 1 \bmod 1993 \\ \end{cases}$
Do đó tử số của $A \equiv 1.(-1)-(-1)\equiv 0\bmod 1993$.
Mặt khác dễ thấy mẫu số của $A$ không chia hết cho $1993$.
Vậy $1993|A$.
|