Bạn adjmtwwpg2@gmail.com có hỏi thế này. Mình post dùm thôi nhe k hỏi

Question

Cmr phương trình sau luôn có nghiệm với mọi a,b

$(x+a)^3+(x+b)^3=x^3$

score 0 · Answer 1

Xét hàm số

$f(x) = {x^3} + 3(a + b){x^2} + 3({a^2} + {b^2}) + {a^3} + {b^3}$

TXĐ:

$D=R$

$f'(x) = 3{x^2} + 6(a + b)x + 3({a^2} + {b^2})$

Ta có:

$\Delta ' = 9{(a + b)^2} - 9({a^2} + {b^2}) = 18ab$

TH1:

$ab \le 0 \Rightarrow f(x)$ đồng biến trên

$R$ . Suy ra

$f(x) = 0$ có nghiệm duy nhất.

TH2:

$ab > 0 \Rightarrow f'(x) = 0$ có 2 nghiệm bận biệt

${x_{1,2}} = - a - b \pm \sqrt {2ab}$ .

Chia

$f(x)$ cho

$f'(x)$ , ta được:

$f(x) = {\rm{[}}\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}(a + b){\rm{]}}f'(x) - 4abx - {a^2}b - a{b^2}$

$\Rightarrow f({x_1}) = - 4ab( - a - b - \sqrt {2ab} ) - {a^2}b - a{b^2} = 3{a^2}b + 3a{b^2} + 4ab\sqrt {2ab}$

$f({x_2}) = 3{a^2}b + 3a{b^2} - 4ab\sqrt {2ab}$

$\Rightarrow f({x_1}).f({x_2}) = {(3{a^2}b + 3a{b^2})^2} - 32{a^3}{b^3} = {(3{a^2}b - 3a{b^2})^2} + 4{a^3}{b^3} > 0$

$\Rightarrow f(x) = 0$ có nghiệm duy nhất.

Tóm lại: phương trình

$f(x)=0$ có nghiệm duy nhất với mọi

$a,b$ .

Ủa, mình chứng minh có nghiệm duy nhất đấy thôi!

score 0 · Answer 2

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

${(x + a)^3} + {(x + b)^3} = {x^3}$

$\Leftrightarrow {x^3} + 3(a + b){x^2} + 3({a^2} + {b^2}) + {a^3} + {b^3} = 0$

Đặt

$f(x) = {x^3} + 3(a + b){x^2} + 3({a^2} + {b^2}) + {a^3} + {b^3}$

Hàm số

$f(x)$ là hàm đã thức nên liên tục trên tập xác định

$D=R$ .

Mà

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty$

Suy ra phương trình

$f(x)=0$ luôn có nghiệm với mọi

$a,b$ .

Cm co ngjem duy nhat dj – adjmtwpg2 27-07-13 08:05 AM

Cm có 1 nghiệm duy nhất mà. 1 nghiệm thì dễ rùi. Thiếu sót ở mình – adjmtwpg2 26-07-13 08:32 PM

Hỏi	26-07-13 05:18 PM
Lượt xem	1665
Hoạt động	26-07-13 10:58 PM

Bạn adjmtwwpg2@gmail.com có hỏi thế này. Mình post dùm thôi nhe k hỏi

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Bạn adjmtwwpg2@gmail.com có hỏi thế này. Mình post dùm thôi nhe k hỏi

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan