Bất đẳng thức

Question

Cho x+y=1. CMR

$x^4+y^4\geq 1/8$

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 1 · 7/21/2013 4:35:04 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Tiếp lun @@!~

Đặt.

$x=\frac{1}{2}+a$

$y=\frac{1}{2}-a$

$\Rightarrow x^4+y^4=\frac{1}{8}+3a^2+2a^4\geq \frac{1}{8}$ đpcm

Trả lời 21-07-13 04:35 PM

♂Vitamin_Tờ♫
16 1

306K 525K

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 2 · 7/21/2013 4:29:44 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

Tiếp cách nữa:

$\begin{cases}(x-y)^2\geq 0\\ (x+y)^2\geq 1 \end{cases}\Rightarrow 2(x^2+y^2)\geq 1$

$(x^2+y^2)^2\geq \frac{1}{4}\Rightarrow (x^2+y^2)^2+(x^2-y^2)^2\geq \frac{1}{4}\Rightarrow 2(x^4+y^4)\geq \frac{1}{4}$ đpcm

Trả lời 21-07-13 04:29 PM

♂Vitamin_Tờ♫
16 1

306K 525K

score 7 · Answer 3

Bình chọn tăng 7 Bình chọn giảm

Em chém gió các a các chị tí, thi đại học không có cho xài mấy cái kia đâu nhá, cần chứng minh đấy =))

Bài nè 1 là Cauchy cũng không khó lắm, nhưng em chơi kiểu thi đại học vài năm gần đây

Ta có

$y = 1 - x \Rightarrow x^4 + y^4 = x^4 + (1 - x)^4$

Xét hàm

$f(x) = x^4 + (1 - x)^4$

$f'(x) = 4x^3 - 4(1 - x)^3,\ \ f' = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$ , lập BBT ta có ngay

$f(x) \ge f(\dfrac{1}{2} \ge \dfrac{1}{8} \forall x$ , dấu

$=$ khi chỉ khi

$x = y = \dfrac{1}{2}$

Hí hí.... Nói thế thì học - . : là được ùi.... – ♂Vitamin_Tờ♫ 21-07-13 04:47 PM

nhiều kiến thức khác còn chả có ứng dụng j, chả hiểu mấy cha đưa bdt vào học làm j k biết – Dép Lê Con Nhà Quê 21-07-13 04:39 PM

uh thì bdt hay mà nó dành cho mấy ng đầu có sỏi, mình thì k mạnh chút nào bdt nên k chơi với nó :vmà thật sự chỉ có gd vn mới học bdt khi mà có hàng ngàn cái – Dép Lê Con Nhà Quê 21-07-13 04:39 PM

@@!~... Hồi nãy lên diễn đàn toán học,, em gõ vào BĐT cauchy schwarz Nó ra 1 nùi BĐT hay lắm... mà k có cm... Mới tính dùng – ♂Vitamin_Tờ♫ 21-07-13 04:36 PM

^^ chấp nhận thương đau đi :v hjhe – Dép Lê Con Nhà Quê 21-07-13 04:31 PM

Chài... đh gì khó gúm>>>>>> – ♂Vitamin_Tờ♫ 21-07-13 04:30 PM

e thi hsg thi chả nói làm gì, cơ mà thi dh chỉ dc xài đạo hàm bdt Cauchy nhá, ngoài nó ra thì "3 con sói" , bernoulli hay jensen... đều cần cm hết – Dép Lê Con Nhà Quê 21-07-13 04:28 PM

Toàn là BĐT cũng cần cm nữa hak~~~.... – ♂Vitamin_Tờ♫ 21-07-13 04:26 PM

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 4 · 7/21/2013 4:21:47 PM

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

Tiếp nữa: THeo BĐT cauchy:

$\begin{cases}x^4+3.\frac{1}{2^4}\geq 4\sqrt[4]{x^4\frac{1}{2^{12}}}=\frac{\left| {} x\right|}{2}\\ y^4+3.\frac{1}{2^4}\geq\frac{\left| {} y\right|}{2} \end{cases}\Rightarrow x^4+y^4+\frac{3}{8}\geq \frac{1}{2}(x+y)=\frac{1}{2}\Rightarrow$ đpcm

Trả lời 21-07-13 04:21 PM

♂Vitamin_Tờ♫
16 1

306K 525K

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 5 · 7/21/2013 4:15:56 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Cách khác nữa nek: Theo BCS

Ta có:

$1=(1.x+1.y)^2\leq 2(1.x^2+1.y^2)\leq 2\sqrt{2}\sqrt{x^4+y^4}\Rightarrow 1\leq 8(x^4+y^4)$ đpcm

Trả lời 21-07-13 04:15 PM

♂Vitamin_Tờ♫
16 1

306K 525K

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 6 · 7/21/2013 4:13:15 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Cách khác:

Xét

$f(x)=x^4$

$+f'(x)=4x^3$

$+f''(x)=12x^2\geq 0\Rightarrow f$ lõm

Theo Jensen

$f(x)+f(y)\geq 2f(x+y)\Rightarrow x^4+y^4\geq \frac{1}{8}$

Trả lời 21-07-13 04:13 PM

♂Vitamin_Tờ♫
16 1

306K 525K

♂Vitamin_Tờ♫ · Answer 7 · 7/21/2013 4:09:24 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

Áp dụng BĐT bernoulli ta có:

$\begin{cases}(1+2x-1)^4\geq 1+4(2x-1)\\ (1+2y-1)^4\geq 1+4(2y-1)\end{cases}\Rightarrow (2x)^4+(2y)^4\geq 2\Rightarrow$ đpcm

Trả lời 21-07-13 04:09 PM

♂Vitamin_Tờ♫
16 1

306K 525K

๖ۣۜDevilღ · Answer 8 · 11/11/2013 9:47:17 PM

Bình chọn tăng 3 Bình chọn giảm

ngắn gọn dễ hiểu

Trả lời 11-11-13 09:47 PM

๖ۣۜDevilღ
1

10M 539K

score 2 · Answer 9

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

Cái này dễ nè, có thể giải như sau :

Ta có :

$\frac{a^n + b^n}{2} \geq (\frac{a + b}{2})^n$ , dùng cái này là chứng minh được liền.

lịch sử

Hỏi	21-07-13 04:06 PM
Lượt xem	6449
Hoạt động	11-11-13 09:47 PM

Bất đẳng thức

9 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Bất đẳng thức

9 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan