$\Delta = {(2m - 1)^2} - 8(m - 1) = 4{m^2} - 12m + 9 = {(2m - 3)^2}$Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2} \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {(2m - 3)^2} > 0 \Leftrightarrow m \ne \frac{3}{2}$
TH1:
${x_1} = \frac{{ - (2m - 1) + 2m - 3}}{4} = - \frac{1}{2}$
${x_2} = \frac{{ - (2m - 1) - (2m - 3)}}{4} = - m + 1$
\[3{x_1} + 4{x_2} = 11 \Leftrightarrow - \frac{3}{2} + 4( - m + 1) = 11 \Leftrightarrow - 4m = \frac{{17}}{2} \Leftrightarrow m = \frac{{ - 17}}{8}\]
TH2:
${x_1} = - m + 1;{x_2} = - \frac{1}{2}$
$3{x_1} + 4{x_2} = 11 \Leftrightarrow 3( - m + 1) - 2 = 11 \Leftrightarrow - 3m = 10 \Leftrightarrow m = \frac{{ - 10}}{3}$
Vậy $m = \frac{{ - 17}}{8}$ hoặc $m = \frac{{ - 10}}{3}$ thỏa yêu cầu bài toán.