Ta có: $2\sqrt[4]{27{{x}^{2}}+24x+\frac{28}{3}}=1+\sqrt{\frac{3(9x+4)}{2}}\text{ }\Leftrightarrow \sqrt[4]{\frac{{{(9x+4)}^{2}}}{3}+4}=1+\sqrt{\frac{3(9x+4)}{2}}(1)$
Điều kiện: $9x+4=y \geq 0$. Khi đó $(1)$ trở thành:
$2\sqrt[4]{\dfrac{y^2}{3}+4}=1+\sqrt{\dfrac{3y}{2}}\Leftrightarrow 4\sqrt{\dfrac{y^2}{3}+4}=1+\dfrac{3y}{2}+\sqrt{6y}$
Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có
$\sqrt{6y} \leq \dfrac{6+y}{2}$ $\Rightarrow 4\sqrt{\dfrac{y^2}{3}+4} \leq 2y+4$
$\Leftrightarrow 4(\dfrac{y^3}{3}+4)\leq (y+2)^2\Leftrightarrow \dfrac{(y-6)^2}{3} \leq 0$
Ta lại có: $(y-6)^2 \geq 0$ nên $y=6$
Từ đó $x=\dfrac{y-4}{9}=\dfrac{2}{9}$ thỏa mãn điều kiện ban đầu.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{2}{9}$