Ta cần phải chứng minhNếu
$M \in BC$ sao cho: $\sqrt[3]{MB^2.AB^2} + \sqrt[3]{MC^2.AC^2} = \sqrt[3]{BC^4}$
Thì
$M \equiv H.$
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông thì $ \left\{ \begin{array}{l} AB^2=BC.BH\\ AC^2=BC.CH \end{array} \right.$ suy ra
$\sqrt[3]{MB^2.AB^2} + \sqrt[3]{MC^2.AC^2} = \sqrt[3]{BC^4}$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{MB^2.
BC.BH } + \sqrt[3]{MC^2.
BC.CH } = \sqrt[3]{BC^4}$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{MB^2.BH } + \sqrt[3]{MC^2.CH } = BC$
Mặt khác theo BĐT Cô-si
$\sqrt[3]{MB^2.BH }=\sqrt[3]{MB.MB.BH }
\le \frac{MB+MB+BH}{3}=\frac{2MB+BH}{3}$
Tương tự
$
\sqrt[3]{MC^2.CH } \le \frac{2MC+CH}{3}$
Suy ra
$\sqrt[3]{MB^2.BH } + \sqrt[3]{MC^2.CH } \le \frac{2MB+BH}{3}+\frac{2MC+CH}{3}= BC$
Điều này xảy ra $\Leftrightarrow \begin{cases}MB=HB \\ MC=HC \end{cases}\Leftrightarrow $$M \equiv H.$