|
|
Giả sử em đã chứng minh được bất đẳng thức Cô-si cho hai và ba số, tức là $\forall x,y,z \ge0$ thì
$x +y \ge 2 \sqrt{xy}$ và $x +y+z \ge 3\sqrt[3]{xyz}$.
Áp dụng điều trên ta có
$a^5+b^5+c^5 \ge 3\sqrt[3]{a^5b^5c^5}$
$d^5+e^5+abcde \ge 3\sqrt[3]{d^5e^5abcde}=3\sqrt[3]{a^{}b^{}c^{}d^{6}e^{6}}$
$3\sqrt[3]{a^5b^5c^5}+3\sqrt[3]{a^{}b^{}c^{}d^{6}e^{6}} \ge 6\sqrt{\sqrt[3]{a^5b^5c^5}.\sqrt[3]{a^{}b^{}c^{}d^{6}e^{6}}}=6\sqrt[6]{a^{6}b^{6}c^{6}d^{6}e^{6}}=6abcde$
Cộng theo từng vế ba BĐT trên và rút gọn ta được đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=d=e.$
|