M(−2,3) là một điểm thuộc đồ thị , vì vậy d sẽ cắt đồ thị tại hai điểm nữay′=3x2+6x
d:y−3=k(x+2)
Do y′(−2)=0 nên tiếp tuyến tại M có hệ số góc 0 sẽ không có tiếp tuyến nào có thể vuông góc với nó nữa , cho nên hai cái tiếp tuyến kia sẽ vuông góc với nhau
Giao điểm của d và đồ thị thỏa mãn
x3+3x2−4=k(x+2)
⇒(x+2)2(x−1)=k(x+2)
Vậy hoành độ của hai điểm kia là nghiệm của PT (x+2)(x−1)=k
⇔x2+x−2−k=0(∗)
Để có hai nghiệm Δ=1+4(k+2)>0⇔4k+9>0⇔k>−94
Khi đó (∗) có hai nghiệm x1,x2
y′(x1)=3x21+6x1=3(x21+x1)+3x1=3(x1+k+2)
y′(x2)=3x22+6x2=3(x2+k+2)
Để tiếp tuyến tại chúng vuông góc , tích của hai hệ số góc phải bằng −1
y′(x1)y′(x2)=−1⇔9(x1+k+2)(x2+k+2)=−1
⇔9x1x2+9(k+2)(x1+x2)+9(k+2)2=−1
Áp dụng định lý Viete cho (∗)⇒x1x2=−(k+2),x1+x2=−1
⇒−9(k+2)−9(k+2)+9(k+2)2=−1
⇔9(k+2)2−18(k+2)+1=0
⇔k=−1±√83