hệ pt ạ

Question

$\begin{cases}(x+y)(x^2+4xy+y^2)=12 \\ \sqrt{xy}(x+2y)(2x+y)=9 \end{cases}$

score 1 · Answer 1

$\Leftrightarrow \begin{cases} (x + y){\rm{[}}{(x + y)^2} + 2xy] = 12 \\ \sqrt {xy} {\rm{[}}2{(x + y)^2} + xy{\rm{] = 9}} \end{cases}$

Đặt

$S=x+y, P=xy$ , hệ phương trình trở thành:

$\begin{cases}S(S^2+2P)=12 (1) \\ \sqrt P ({S^2} + P) = 9 (2) \end{cases}$

Dễ thấy

${\rm{S,P}} \ge {\rm{0}}$

${\rm{(1)}} \Leftrightarrow {\rm{P = }}\frac{{12 - {S^3}}}{{2S}}$

Thế vào (2), ta được:

$\frac{{12 - {S^3}}}{{2S}}{\left( {2{S^2} + \frac{{12 - {S^3}}}{{2S}}} \right)^2} = 81$

$\Leftrightarrow \frac{{12 - {S^3}}}{{2S}}{\left( {\frac{{3{S^3} + 12}}{{2S}}} \right)^2} = 81$

$\Leftrightarrow (12 - {S^3}){({S^3} + 4)^2} = 78{S^3}$

$\Leftrightarrow - {S^9} + 4{S^6} + 8{S^3} + 192 = 0 \Leftrightarrow {S^3} = 8$

$\Leftrightarrow S = 2,P = 1 \Leftrightarrow x = y = 1$

1 Đáp án