|
|
Trước hết ta chứng minh một bổ đề sau (em tự chứng minh xem như bài tập nhé ).
Nếu các số thực $x,y,z$ khác $0$ thỏa mãn $x+y+z=0$ thì
$\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}=\left| {\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}} \right|$.
Áp dụng bổ đề trên cho $x=a^2, y=b^2, z= -(a^2+b^2)$ ta được
$\sqrt{\frac{1}{a^{4}}+\frac{1}{b^{4}}+\frac{1}{(a^{2}+b^{2})^{2}}} = \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2+b^2}$
Chú ý rằng là hiển nhiên có $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}>\frac{1}{a^2+b^2}$.
Suy ra
$A=\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{(a+b)^{2}}} $
Lại áp dụng bổ đề trên cho $x=a, y=b, z= -(a+b)$ ta được
$A=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}.$
|