Có $\widehat{AMO}=\widehat{OAM} ( \triangle OMA$ cân ở O)$\widehat{OAM}=\widehat{MNC}$ (cùng chắn cung MC)
$\widehat{MNC} = \widehat{NMC} ( \triangle MNC$ cân ở C)
$\Rightarrow \widehat{AMO}=\widehat{NMC} (đpcm)$
Có BE//CM ( cùng vuông góc AM)
Mà MB//CM( CMBN là hình thoi)
$\Rightarrow$ BE//BM hay B,M,E thẳng hàng
Có OO'=R-R'
Mặt khác OP=O'P-OO'=O'P-R+R'
Hay O'P-OP=R-R'
$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} O'P=R\\ OP=R \end{array} \right.$
Có $\triangle O'EA$ cân tại O' $\Rightarrow \widehat{O'EA}=\widehat{O'AE}$
Mà $\widehat{O'AE}=\widehat{MNE} $(cùng phụ góc NME)
$\triangle vuông MNE$ có EP là trung tuyến $\Rightarrow \widehat{MNE}=\widehat{NEP}$
$\Rightarrow \widehat{O'EA}=\widehat{NEP}$
$\Rightarrow \widehat{O'EP}=\widehat{BEA} =90^0$
$\Rightarrow$ O'E vuông góc PE hay PE là tiếp tuyến của (O')