Có ^AMO=^OAM(△OMA cân ở O)^OAM=^MNC (cùng chắn cung MC)
^MNC=^NMC(△MNC cân ở C)
⇒^AMO=^NMC(đpcm)
Có BE//CM ( cùng vuông góc AM)
Mà MB//CM( CMBN là hình thoi)
⇒ BE//BM hay B,M,E thẳng hàng
Có OO'=R-R'
Mặt khác OP=O'P-OO'=O'P-R+R'
Hay O'P-OP=R-R'
⇒{O′P=ROP=R
Có △O′EA cân tại O' ⇒^O′EA=^O′AE
Mà ^O′AE=^MNE(cùng phụ góc NME)
\triangle vuông MNE có EP là trung tuyến \Rightarrow \widehat{MNE}=\widehat{NEP}
\Rightarrow \widehat{O'EA}=\widehat{NEP}
\Rightarrow \widehat{O'EP}=\widehat{BEA} =90^0
\Rightarrow O'E vuông góc PE hay PE là tiếp tuyến của (O')