giup minh voi

Question

$\int\limits_{0}^{2}x\sqrt{2x-x^{2}}$

$\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}$

score 3 · Answer 1

$Q=\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{(x^2+1)(x^2+2)}=\int\limits_{0}^{1}(\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+2})dx$

$=\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{x^2+1}-\int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{x^2+2}$

Áp dụng công thức

$\int\frac{dx}{x^2+a}=\frac{1}{\sqrt a}tan^{-1}\frac{x}{\sqrt a}+C$

$Q=(tan^{-1}1-tan^{-1}0)-(\frac{1}{\sqrt2}tan^{-1}\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt2}tan^{-1}0)$

$=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{\sqrt2}tan^{-1}\frac{1}{\sqrt2}$

score 2 · Answer 2

$P=\int\limits_{0}^{2}x\sqrt{2x-x^2}dx$

Đặt

$x=u+1\Rightarrow 2x-x^2=2(u+1)-(u+1)^2=1-u^2 , dx=du$

$P=\int\limits_{-1}^{1}(u+1)\sqrt{1-u^2}du$

Đặt

$u=sint , t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\Rightarrow \sqrt{1-u^2}=cost , du=cost.dt$

$P=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(sint+1)cos^2t.dt$

Biến đổi hàm lượng giác như sau

$(sint+1)cos^2t=sint.cos^2t+cos^2t=sint.cos^2t+\frac{cos{2t}+1}{2}$

$P=\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sint.cos^2t.dt+\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\frac{cos{2t}}{2}+\frac{1}{2})dt$

Vì

$sint.cos^2t$ là hàm số lẻ nên tích phân của nó trên đoạn

$[-\frac{\pi}{2}.\frac{\pi}{2}]$ bằng

$0$

$\int(\frac{cos{2t}}{2}+\frac{1}{2})dt=\frac{sin{2t}}{4}+\frac{t}{2}+C$

Từ đây ta có

$P=\frac{sin\pi}{4}+\frac{\pi}{4}-\frac{sin(-\pi)}{4}+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$

2 Đáp án