Tích phân thi đại học 2013

Question

Tính tích phân: I=

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}} \frac{2 - sinx}{2 + cosx} dx$

đây là tích phân chứ bạn, nguyên hàm k có cận, và yêu cầu bài toán này chắc phải là tính tích phân chứ k phải chứng minh ^^

score 3 · Answer 1

$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{2 - sinx}}{{2 + cosx}}} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{2}{{2 + cosx}}} dx - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{sinx}}{{2 + cosx}}} dx$

* Tính

$J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{2}{{2 + cosx}}} dx$

Ta có:

$2 + \cos x = 2 + 2{\cos ^2}\frac{x}{2} - 1 = 2{\cos ^2}\frac{x}{2} + 1 = {\cos ^2}\frac{x}{2}(2 + \frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}) = {\cos ^2}\frac{x}{2}({\tan ^2}\frac{x}{2} + 3)$

$\Rightarrow J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{2}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}({{\tan }^2}\frac{x}{2} + 3)}}} dx$

Đặt

$t = \tan \frac{x}{2} \Rightarrow 2dt = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}$

$\Rightarrow J = \int\limits_0^1 {\frac{{4dt}}{{{t^2} + 3}}}$

Đặt

$t = \sqrt 3 \tan u \Rightarrow dt = \sqrt 3 ({\tan ^2}u + 1)du$

$\Rightarrow J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{4\sqrt 3 ({{\tan }^2}u + 1)du}}{{3{{\tan }^2}u + 3}}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {du} = \frac{{2\pi \sqrt 3 }}{9}$

* Tính

$K = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{sinx}}{{2 + cosx}}} dx$

Đặt

$v = 2 + \cos x \Rightarrow - dv = \sin {\rm{x}}dx$

$\Rightarrow K = \int\limits_2^3 {\frac{{dv}}{v}} = \ln 3 - \ln 2 = \ln \frac{3}{2}$

Vậy

$I = \frac{{2\pi \sqrt 3 }}{9} - \ln \frac{3}{2}$

Hỏi	24-05-13 04:59 PM
Lượt xem	1875
Hoạt động	29-05-13 11:18 AM

Tích phân thi đại học 2013

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Tích phân thi đại học 2013

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan