Bài 2.Dễ thấy ${d_1} \bot {d_2}$ và ${d_1}$ cắt ${d_2}$ tại $A(-2;1)$.
Đường thẳng d qua I và có vtpt là $\overrightarrow n = (a;b)$ nên d có phương trình: \[a(x - 1) + b(y + 2) = 0\]
Do tam giác ABC vuông tại A nên $\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{d{{(A,d)}^2}}}$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:
$$d(A;d) = \frac{{\left| { - 3a + 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \le \frac{{\sqrt {{3^2} + {3^2}} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt {18} $$
\[ \Rightarrow \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{d{{(A,d)}^2}}} \ge \frac{1}{{18}}\]
Vậy:
\[Min\left( {\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}} \right) = \frac{1}{{18}} \Leftrightarrow \frac{a}{{ - 3}} = \frac{b}{3} \Leftrightarrow a = - b \Leftrightarrow d:x - y - 3 = 0\]