PT
$\Leftrightarrow x^{2} + 2y^{2} + y-1 -x(2y^{2} +y-1) -2=0$
Đặt $A=2y^{2} + y-1$ thì PT
$\Leftrightarrow x^{2} -Ax+A -2=0$
Coi đây là PT bậc hai theo $x$ tham số $A$ thì để PT này có nghiệm nguyên thì
$\Delta = A^2-4(A-2)=(A-2)^2+4$ phải là số chính phương.
Ta có thể giả sử
$(A-2)^2+4=B^2, \quad B \in \mathbb Z$
$\Leftrightarrow (A-2-B)(A-2+B)=-4$
Đến đây xét các ước nguyên của $4$ và tìm được $A$, thay ngược trở lại ta tìm được $y$ và tiếp đến là $x$.