giúp em mấy câu này với

Question

1. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{2012^{2}+2013^{2}} <\frac{1}{2}$

2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên

$n\geq1$ ta có:

$\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+\frac{1}{25}+...+\frac{1}{n2+(n+1)2} <\frac{9}{20}$

3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên

$n\geq 2$ thì tổng:

$S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n2-1}{n2}$ không thể là một số nguyên.

4. Chứng minh bất đẳng thức:

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}>4$

5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:

$\frac{1}{1.\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+\frac{1}{3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{n\sqrt{n+1}} > 2\left ( 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}} \right )$

Bạn chú ý trong cách nhập công thức nhé. Trước khi nhập công thức bạn phải nhập trước 2 dấu $, sau đó nhập công thức vào giữa hai dấu đó nhé. Như vậy công thức mới hiển thị đúng dc.
Bạn có thể tham khảo video hướng dẫn nhập công thức Toán ở phía trên nhé. Bạn cũng có thể vào xem cách sửa của mình bằng cách Click vào "Sửa" để xem nhé .

score 4 · Answer 1

Bài nào có nhiều phần thì em nên tách thành nhiều câu hỏi khác nhau nhé.

Các bài toán dạng trên đòi hỏi phải có cách đánh giá khéo léo từ những bước đầu tiên. Ví dụ tại bài 4

Đặt

$A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}$

$B=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+...+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}$

Ta chứng minh được

$A>B$ (em thử tự lý giải điều này nhé).

Ngoài ra ta còn chứng minh được đẳng thức

$\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\quad k \in \mathbb N.$

Như vậy

$2A > A+B = \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{79}+\sqrt{80}}+\frac{1}{\sqrt{80}+\sqrt{81}}$

$=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+....+\sqrt{81}-\sqrt{80}=\sqrt{81}-\sqrt{1}=8$

$\Rightarrow$ đpcm.

Câu hỏi này được treo giải thưởng trị giá +1000 vỏ sò bởi luongtanthinh.pgddonghoa@phuyen.edu.vn, đã hết hạn vào lúc 16-05-13 07:03 PM