2/ Xét phương trình: ${x^2} - (m + 2)x + {m^2} + 1 = 0$$\Delta = {(m + 2)^2} - 4({m^2} + 1) = - 3{m^2} + 4m$
Để phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thì: $\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le \frac{4}{3}$
Theo đề bài: ${x_1}^2 + 2{x_2}^2 = 3{x_1}{x_2} \Leftrightarrow ({x_1} - {x_2})({x_1} - 2{x_2}) = 0$
$TH1:{x_1} - {x_2} = 0 \Leftrightarrow \Delta = 0 \Leftrightarrow m = 0 \vee m = \frac{4}{3}$
$TH2:{x_1} - 2{x_2} = 0.$
Mà ${x_1} + {x_2} = m + 2$
Suy ra ${x_1} = \frac{{m + 2}}{3},{x_2} = \frac{{2(m + 2)}}{3}$
Do ${x_1}{x_2} = {m^2} + 1 \Rightarrow \frac{{2{{(m + 2)}^2}}}{9} = {m^2} + 1 \Leftrightarrow 7{m^2} - 8m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{7}$ (loại nghiệm $m=1$)
Vậy $m = 0;\frac{1}{7};\frac{4}{3}$ thỏa yêu cầu bài toán.