tìm tọa độ A,B,C trong không gian oxyz.....................

Gọi I(a;b;c) là trung điểm của BC.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Do $G \in d \Rightarrow G(2 + t,2 + 2t, - 2 - t)$

Ta có:

$\overrightarrow {AG}  = (t + 3,2t, - t - 3)$

$\overrightarrow {AI}  = (a + 1,b - 2,c - 1)$

Mà $\overrightarrow {AI}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {AG}  = \frac{3}{2}(t + 3,2t, - t - 3)$

$\Rightarrow \begin{cases}a + 1 = \frac{3}{2}(t + 3) \\ b - 2 = \frac{3}{2}.2t \\ c - 1 = \frac{3}{2}( - t - 3)\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a = \frac{3}{2}t + \frac{7}{2} \\ b = 3t + 2 \\ c =  - \frac{3}{2}t - \frac{7}{2} \end{cases}$

Mà $I \in (P) \Rightarrow 2(\frac{3}{2}t + \frac{7}{2}) + 2(3t + 2) - ( - \frac{3}{2}t - \frac{7}{2}) - 4 = 0$

$\Leftrightarrow t =  - 1 \Leftrightarrow G(1,0, - 1)$

$\Rightarrow \overrightarrow {AG}  = (2, - 2, - 2) \Rightarrow A{G^2} = 12$

Ta lại có:

$B{C^2} = {(\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} )^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2\overrightarrow {AB} \overrightarrow {.AC}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow {AB} \overrightarrow {.AC}  = A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}$

Mà $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AI}  = 3\overrightarrow {AG}$

$\Rightarrow 9A{G^2} = {(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} )^2} = A{B^2} + A{C^2} + 2\overrightarrow {AB} \overrightarrow {.AC}  = 2(A{B^2} + A{C^2}) - B{C^2}$

$\Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = \frac{{9A{G^2} + B{C^2}}}{2} = \frac{{9.12 + 16}}{2} = 62$