a. Ta có: $(H): 4x^{2}-y^{2}-4=0. (1)$$\leftrightarrow (H): x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1.$
$\rightarrow c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.$
$F_{1}=(-\sqrt{5};0) ; F_{2}=(\sqrt{5};0).$
+ Gọi $M(x;y)$ là điểm cần tìm.
$\overrightarrow{MF_{1}}=(-\sqrt{5}-x;-y).$
$\overrightarrow{MF_{2}}=(\sqrt{5}-x;-y).$
Để $M(x;y)$ nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông $\Leftrightarrow \overrightarrow{MF_{1}}.\overrightarrow{MF_{2}}=0.$
$\Leftrightarrow (-\sqrt{5}-x).(\sqrt{5}-x) +y^{2}=0.$
$\Leftrightarrow -5+\sqrt{5}.x-\sqrt{5}.x+x^{2}+y^{2}=0.$
$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=5 (2)$
$\rightarrow $ Từ (1), (2) ta có hệ pt: $\begin{cases}4x^{2}-y^{2}=4 \\ x^{2}+y^{2}=5 \end{cases} \leftrightarrow \begin{cases}x=\pm\frac{3.\sqrt{5}}{5} \\ y=\pm \frac{4.\sqrt{5}}{5} \end{cases}.$
* Vậy có 4 điểm $M$ cần tìm là:
$M_{1}(\frac{3.\sqrt{5}}{5};\frac{4.\sqrt{5}}{5}) ; M_{2}(-\frac{3.\sqrt{5}}{5};-\frac{4.\sqrt{5}}{5})$
$M_{3}(\frac{-3.\sqrt{5}}{5};\frac{4.\sqrt{5}}{5}); M_{4}(\frac{3\sqrt{5}}{5};\frac{-4.\sqrt{5}}{5}).$