đè thi hsg tp hà nội năm nay này

Question

$\frac{27a^{2}}{c(c^{2}+9a^{2})}$ +

$\frac{b^{2}}{a(4a^{2}+b^{2})}$ +

$\frac{8c^{2}}{b(9b^{2}+4c^{2})}$

$\geq$

$\frac{3}{2}$ biết a,b,c dương và

$\frac{1}{a}$ +

$\frac{2}{b}$ +

$\frac{3}{c}$ =3

score 2 · Answer 1

Đặt a = x, b = 2y và c = 3z, khi đó ta có

$\frac{1}{x}$ +

$\frac{1}{y}$ +

$\frac{1}{z}$ = 3

và BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT:

$\frac{x^{2}}{z(x^{2}+z^{2})}$ +

$\frac{y^{2}}{x(y^{2}+x^{2})}$ +

$\frac{z^{2}}{y(z^{2}+y^{2})}$

$\geq$

$\frac{3}{2}$

Ta có:

$\Sigma$

$\frac{x^{2}}{z(x^{2}+z^{2})}$ =

$\Sigma$

$(\frac{1}{z}$ -

$\frac{z}{x^{2}+z^{2}})$

$\geq$ 3 -

$\Sigma$

$\frac{1}{2x}$ =

$\frac{3}{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 hay a = 1, b = 2, c = 3. Vậy ta có đpcm

1 Đáp án