|
|
Ta có
$|y|=\left| {\sin^5 x+\sqrt 3 \cos x} \right| \le \left| {\sin^5x } \right|+\sqrt 3\left| { \cos x} \right|\le\sin^4x+\sqrt 3\left| { \cos x} \right|$
Chú ý là $|\sin x | \le 1\Rightarrow |\sin x |^5 \le \sin^4x$, đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} \sin x=0\\ \sin x =1 \end{matrix}} \right.$.
Suy ra
$y \le (1-\cos^2x)^2+\sqrt 3\left| { \cos x} \right|=(1-t^2)^2+\sqrt 3$.
trong đó $0 \le t=|\cos x| \le 1.$
Ta có sẽ chứng minh $(1-t^2)^2+\sqrt 3t \le \sqrt 3$,
Thật vậy, BDT trên
$\Leftrightarrow (t^2-1)^2+\sqrt 3(t-1) \le 0$
$\Leftrightarrow (t-1)\left[ {(t-1)(t+1)^2+\sqrt 3} \right] \le 0\qquad (*)$
Bây giờ ta sẽ chứng minh
$g(t)=(t-1)(t+1)^2+\sqrt 3=t^3+t^2-t+\sqrt 3-1>0$ với $0 \le t \le 1.$
Ta có $g'(t)=3t^2+2t-1=0\Leftrightarrow t=1/3$.
Lập bảng biến thiên của $g(t)$ ta sễ suy ra $g(t) \ge g(1/3)>0.$
Nên $(*)\Leftrightarrow t\le 1,$ luôn đúng.
Vậy $|y| \le \sqrt 3\Leftrightarrow -\sqrt 3 \le y \le \sqrt 3.$
Vậy
$\min y=-\sqrt 3\Leftrightarrow \sin x=0,\cos x=-1$.
$\max y=\sqrt 3\Leftrightarrow \sin x=0,\cos x=1$.
|