|
|
Từ giả thiết $x+y+xy=x^2 +y^2\Rightarrow x+y+xy=(x+y)^2-2xy\Rightarrow xy=\dfrac{(x+y)^2-(x+y)}{3}$
Ta thấy rằng nếu $x+y=0\Rightarrow xy=0\Rightarrow x=y=0\Rightarrow P=0.$
Xét $x+y \ne 0$, cũng từ gt
$x+y+xy=x^2 +y^2\Rightarrow x+y=x^2 +y^2-xy\Rightarrow (x+y)^2=x^3+y^3.$
Suy ra
$P = (x+y)^2+x+y+xy-6(x+y)= (x+y)^2-5(x+y)+\dfrac{(x+y)^2-(x+y)}{3}$
$P=\dfrac{4(x+y)^2-16(x+y)}{3}$
$P=\dfrac{4(x+y)^2-16(x+y)+16}{3}-\dfrac{16}{3}$
$P=\dfrac{4(x+y-2)^2}{3}-\dfrac{16}{3} \ge -\dfrac{16}{3}.$
Vậy $\min P =-\dfrac{16}{3} \Leftrightarrow \begin{cases}x+y=2 \\ x+y+xy=x^2 +y^2 \end{cases}$
Bạn có thể giải chi tiết hệ này, chỉ cần tìm được một nghiệm, chẳng hạn $x= 1+\dfrac{1}{\sqrt 3},y= 1-\dfrac{1}{\sqrt 3}$.
|