Bài 1

Question

a) Tam giác ABC thỏa mãn

$\tan \frac{A}{2}.\tan\frac{B}{2}=\frac{1}{2}$ . Chứng minh rằng a+b=3c.
b) Tam giác ABC thỏa mãn

$\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2}=\frac{1}{2}$
và

$\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}=\frac{1}{10}$ . Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.

score 2 · Answer 1

Bình chọn tăng 2 Bình chọn giảm

a.
Ta có:

$S=p(p-a)\tan\dfrac{A}{2}=p(p-b)\tan\dfrac{B}{2}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$\Rightarrow \tan\dfrac{A}{2}\tan\dfrac{B}{2}=\dfrac{S^2}{p^2(p-a)(p-b)}=\dfrac{p-c}{p}=\dfrac{a+b-c}{a+b+c}$
Mà:

$\tan\dfrac{A}{2}\tan\dfrac{B}{2}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \dfrac{a+b-c}{a+b+c}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a+b=3c$

Nếu thấy lời giải đúng thì bạn vui lòng đánh dấu vào hình chữ V dưới phần vote để xác nhận nhá. Thanks! – khangnguyenthanh 17-02-13 10:35 AM

score 2 · Answer 2

b.
Theo phần (a) ta có:

$a+b=3c \Leftrightarrow p=2c (1)$
Mặt khác:

$S=pr=\dfrac{abc}{4R}\Rightarrow pabc\dfrac{r}{4R}=S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$
Thay

$(1)$ vào biểu thức trên ta được:

$ab\dfrac{r}{4R}=p^2-(a+b)p+ab\Rightarrow (1-\dfrac{r}{4R})ab=2c^2 (2)$
Lại có:

$S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=pr\Rightarrow r=\dfrac{ab\sin C}{a+b+c}=\dfrac{4R^2\sin A\sin B\sin C}{2R(\sin A+\sin B+\sin C)}$
Suy ra:

$\dfrac{r}{4R}=\dfrac{\sin A\sin B\sin C}{2(\sin A+\sin B+\sin C)}$
Mà ta có:

$\sin A+\sin B+\sin C= 2\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}+2\sin\dfrac{B+C}{2}\cos\dfrac{B-C}{2}$

$=2\cos\dfrac{A}{2}(\cos\dfrac{B+C}{2}+\cos\dfrac{B-C}{2})$

$=4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{r}{4R}=\dfrac{8\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}}{8\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}}=\sin\dfrac{A}{2}\sin\dfrac{B}{2}\sin\dfrac{C}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{r}{4R}=\dfrac{1}{10}$
Thay vào

$(2)$ ta được:

$ab=\dfrac{20}{9}c^2$

$\Rightarrow ab=20(a+b)^2$

$\Leftrightarrow 20a^2-41ab+20b^2=0$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}4a=5b\\5a=4b\end{array}\right.$
Cả 2 trường hợp đều dẫn tới

$\Delta ABc$ vuông. (theo Pytago)

Nếu thấy lời giải đúng thì bạn vui lòng đánh dấu vào hình chữ V dưới phần vote để xác nhận nhá. Thanks!
a ơi cái chỗ mà tan ý e ko hỉu. sin mới bằng 1/10 cơ mà

Hỏi	17-02-13 10:09 AM
Lượt xem	2042
Hoạt động	17-02-13 10:37 AM

Bài 1

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Bài 1

2 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan