Hình 9

Question

Cho tam giác ABC có trọng tâm G, gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó. Gỉa sử rằng GI vuông góc với BC. Chứng minh : AB + AC = 3BC

score 1 · Answer 1

Gọi

$M$ là trung điểm

$BC$ và

$D,T$ là giao điểm của

$AI$ với

$BC$ và đường tròn

$(ABC)$ .
Khi đó

$IG//MT$ nên

$\frac{AT}{AI}=\frac{AM}{AG}=3$ .
Từ đó

$S_{ABT}=3S_{IBT}$ và

$S_{ACT}=3S_{ICT}$ , suy ra

$S_{ABTC}=3S_{IBTC} (*)$ .
Đặt

$\widehat{ABT}=\alpha$ thì

$\widehat{IDC}=\alpha$ và

$\widehat{ACT}=189^o-\alpha$ .
Từ

$(*)$ ta có:

$AB.TB.\sin \alpha +AC.TC.\sin (180^o-\alpha )=3BC.TI.\sin \alpha$ .
Mà

$TB=TC=TI$ nên

$AB+AC=3BC$ . (đpcm)

1 Đáp án