Dãy bị chặn.

Question

Cho

$(U_n)$ biết

$U_n=\dfrac{2n-1}{n+2}.$ Chứng minh

$(U_n)$ tăng và bị chặn.

score 3 · Answer 1

Chứng minh dãy số bị chặn
Ta cần chứng tỏ

$U_n$ bị chặn trên và bị chặn dưới
Hiển nhiên thấy

$n \ge 1 \Rightarrow 2n-1 \ge 1 > 0 \Rightarrow U_n= \dfrac{2n-1}{n+2}>0$ .
Mặt khác ta có

$\dfrac{3}{n+2}>0\quad \forall n \ge 1$ suy ra

$U_n = 2-\dfrac{3}{n+2}<2$
Như vậy dãy số trên bị chặn dưới bởi

$0$ và chặn trên bởi

$2$ . Tóm lại nó bị chặn và suy ra đpcm.

score 3 · Answer 2

Chứng minh dãy tăng
Viết lại biểu thức cho dãy số

$U_n = \dfrac{2n-1}{n+2} = \dfrac{2n+4-3}{n+2}=2-\dfrac{3}{n+2}$
Suy ra

$U_{n+1} = 2-\dfrac{3}{n+3}$
Ta có

$U_{n+1} -U_{n} =\dfrac{3}{n+2}-\dfrac{3}{n+3}=\dfrac{3}{(n+2)(n+3)}>0 \quad \forall n \ge 1.$
Vậy

$U_n$ là dãy tăng.

2 Đáp án