Đơn điệu(tt).

Question

Cho dãy

$(U_n)$ với

$U_n=\dfrac{2n^2+n}{n^2+1}.$ Xét tính đơn điệu và dãy bị chặn.

score 4 · Answer 1

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

Cách chứng minh khác không dùng đạo hàm cho phần xét tính đơn điệu
Ta dễ kiểm tra

$u_1 < u_2<u_3<u_4 >u_5$
Và bây giờ ta chứng minh nốt

$u_n > u_{n+1} \quad \forall n \ge 5.$
Thật vậy,

$u_n = \dfrac{2n^2+n}{n^2+1}\Rightarrow u_{n+1} = \dfrac{2(n+1)^2+n+1}{(n+1)^2+1}$
Do đó

$u_n-u_{n+1}=\dfrac{2n^2+n}{n^2+1}-\dfrac{2(n+1)^2+n+1}{(n+1)^2+1}$
Quy đồng và rút gọn ta được

$u_n-u_{n+1}=\dfrac{n^2-3n-3}{(n^2+1)(n^2+2n+2)}$
Và rõ ràng khi

$n \ge 5$ thì

$n^2-3n-3 \ge 5n-3n-3=2n-3>7>0$
Do đó

$u_n > u_{n+1}$ , đpcm.

Hãy ấn chữ V dưới đáp án để chấp nhận nếu như bạn thấy lời giải này chính xác, và nút mũi tên màu xanh để vote up nhé. Thanks! – Trần Nhật Tân 24-01-13 10:19 PM

score 4 · Answer 2

Bình chọn tăng 4 Bình chọn giảm

Xét tính bị chặn
Ta dễ chứng minh được

$u_n>1 \quad \forall n \ge 1$ vì

$\dfrac{2n^2+n}{n^2+1}>1 \quad \forall n \ge 1$
Theo phần trên thì dễ thấy các điều sau

$\begin{cases} u_1<u_2<u_3<u_4\\ u_4>u_5>u_6>... \end{cases}\Rightarrow u_4=\dfrac{36}{17}$ là số lớn nhất trong dãy
Vậy

$1<u_n<\dfrac{36}{17}$

score 4 · Answer 3

Xét tính đơn điệu
Ta có

$u_n=\dfrac{2n^2+n}{n^2+1}=f(n)$
Suy ra

$f'(n)=-\dfrac{n^2-4n-1}{(n^2+1)^2}$
Ta xét

$u_1=3/2, u_2=2,u_3=21/10, u_4=36/17,u_5=55/26$
Nhận thấy rằng

$u_1<u_2<u_3<u_4$
Nhưng kể từ

$u_5$ trở đi thì

$u_4>u_5>u_6>...$
Xảy ra điều này là do với

$n \ge 5$ thì

$n^2-4n-1 >0\Rightarrow f'(n)<0\Rightarrow f(n)$ là hàm nghịch biến.
Tức là

$u_n=f(n)>f(n+1)=u_{n+1} \quad \forall n \ge 5.$
Vậy dãy đơn điệu tăng với

$u_1<u_2<u_3<u_4$ và đơn điệu giảm với

$n \ge 5$ .

Hỏi	24-01-13 08:02 PM
Lượt xem	1824
Hoạt động	24-01-13 10:18 PM

Đơn điệu(tt).

3 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Đơn điệu(tt).

3 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan