Bất đẳng thức trong tam giác(ttt).

Question

Cho

$\Delta ABC$ nhọn. Chứng minh rằng:

$\left(1+\dfrac{1}{\cos A}\right)\left(1+\dfrac{1}{\cos B}\right)\left(1+\dfrac{1}{\cos C}\right)\geq27$

em ơi xem lại đề nhé. Anh nghĩ phải là tích của ba dấu ngoặc kia chứ không phải tổng.

score 5 · Answer 1

Ta có:

$\cos A+\cos B=2\cos(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2})\cos(\dfrac{A}{2}-\dfrac{B}{2})\le2\cos(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2})$

$\cos C+\cos\dfrac{\pi}{3}=2\cos(\dfrac{C}{2}+\dfrac{\pi}{6})\cos(\dfrac{C}{2}-\dfrac{\pi}{6})\le2\cos(\dfrac{C}{2}+\dfrac{\pi}{6})$

$\cos(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2})+\cos(\dfrac{C}{2}+\dfrac{\pi}{6})=2\cos\dfrac{\pi}{3}\cos(\dfrac{A}{4}+\dfrac{B}{4}-\dfrac{C}{4}-\dfrac{\pi}{12})\le2\cos\dfrac{\pi}{3}$
Suy ra:

$\cos A+\cos B+\cos C\le3\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3}{2}$
và

$\cos A\cos B\cos C \le \left ( \dfrac{\cos A+\cos B+\cos C}{3} \right )^3\le\dfrac{1}{8}$
Ta có:

$\left(1+\dfrac{1}{\cos A}\right)\left(1+\dfrac{1}{\cos B}\right)\left(1+\dfrac{1}{\cos C}\right)$

$=1+\left(\dfrac{1}{\cos A}+\dfrac{1}{\cos B}+\dfrac{1}{\cos C}\right)+\left(\dfrac{1}{\cos A\cos B}+\dfrac{1}{\cos B\cos C}+\dfrac{1}{\cos C\cos A}\right)+\dfrac{1}{\cos A\cos B\cos C}$

$\ge1+\dfrac{3}{\sqrt[3]{\cos A\cos B\cos C}}+\dfrac{3}{\sqrt[3]{\cos^2A\cos^2B\cos^2C}}+8\ge27$
Dấu bằng xảy ra khi:

$\Delta ABC$ đều.

Hỏi	24-01-13 07:56 PM
Lượt xem	1377
Hoạt động	24-01-13 09:55 PM

Bất đẳng thức trong tam giác(ttt).

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Bất đẳng thức trong tam giác(ttt).

1 Đáp án

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan